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À peu près tous les théorèmes en mathématiques prennent la forme « si, alors” (le conditionnel) ou « iff” (abréviation de si et seulement si – le biconditionnel). Par conséquent, il est très important de comprendre le sens de ces déclarations. Dans ce guide, nous examinerons la table de vérité pour chacun et pourquoi elle se présente comme elle le fait.

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Lorsque nous analysons les tables de vérité, rappelez–vous que l’idée est de montrer la valeur de vérité pour l’instruction, compte tenu de toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour p et q. Par conséquent, l’ordre des lignes ne la matière – ce sont les lignes elles-mêmes qui doivent être correctes. Pour chaque table de vérité ci-dessous, nous avons deux propositions: p et q. Elles peuvent soit être vraies (première ligne), soit fausses (dernière ligne), soit avoir une vraie et l’autre fausse (deux lignes du milieu). Écrire ceci est la première étape de toute table de vérité.

Le conditionnel -« p implique q » ou « si p, alors q »

L’instruction conditionnelle dit que si p est vrai, alors q suivra immédiatement et sera donc vrai. Ainsi, la première ligne suit naturellement cette définition. De même, la deuxième ligne suit cela car nous disons « p implique q », puis p est vrai mais q est faux, alors l’énoncé « p implique q » doit être faux, car q n’a pas immédiatement suivi p.

Les deux dernières lignes sont les plus difficiles à penser. Alors regardons-les individuellement.

• Ligne 3 : p est faux, q est vrai.
  Pensez à la déclaration suivante. S’il fait beau, je porte mes lunettes de soleil. Si p est faux, et q est vrai, alors cela dit qu’il ne fait pas beau, mais je portais quand même mes lunettes de soleil. Cela n’invalide certainement pas ma déclaration originale car je pourrais juste aimer mes lunettes de soleil. Donc, si p est faux, mais q est vrai, il est raisonnable de penser que « p implique q” est toujours vrai.
• Ligne 4: p est faux, q est faux.
  En utilisant l’exemple sur les lunettes de soleil ci-dessus, cela équivaudrait à ce qu’il ne soit pas ensoleillé et que je ne porte pas mes lunettes de soleil. Encore une fois, cela n’invaliderait pas ma déclaration selon laquelle « s’il fait beau, je porte mes lunettes de soleil”. Par conséquent, si p est faux et q est vrai, « p implique q” est toujours vrai.

En continuant un peu plus avec l’exemple des lunettes de soleil, la seule fois où vous remettrez en question la validité de ma déclaration, c’est si vous me voyiez par une journée ensoleillée sans mes lunettes de soleil (p vrai, q faux). Par conséquent, vous pouvez simplement vous rappeler que l’instruction conditionnelle est vraie dans tous les cas sauf un: lorsque le recto (première instruction) est vrai, mais le verso (deuxième instruction) est faux.

Les instructions biconditionnelles – »p iff q” ou « p si et seulement si q”

Les instructions Si et seulement si, que les maths aiment raccourcir avec « iff », sont très puissantes car elles disent essentiellement que p et q sont des instructions interchangeables. Quand l’un est vrai, vous savez automatiquement que l’autre l’est également. De plus, lorsque l’un est faux, l’autre doit également l’être. Cela se reflète dans la table de vérité. Chaque fois que les deux énoncés ont la même valeur de vérité, le biconditionnel est vrai. Sinon, c’est faux.

Le biconditionnel utilise une double flèche car il dit vraiment « p implique q » et aussi « q implique p ». Symboliquement, il est équivalent à :

\(\left(p\Rightarrow q\right)\wedge\left(q\Rightarrow p\right)\)

Cette forme peut être utile lors de l’écriture de preuves ou lors de l’affichage d’équivalences logiques.

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Résumé

Pour vous aider à vous souvenir des tables de vérité pour ces instructions, vous pouvez penser à ce qui suit:

• Le conditionnel, p implique q , n’est faux que lorsque le recto est vrai mais que le verso est faux. Sinon, c’est vrai.
• Le biconditionnel, p iff q, est vrai chaque fois que les deux instructions ont la même valeur de vérité. Sinon, c’est faux.

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